Trigonometria

Segundo a Wikipedia:
Trigonometria (do grego trigōnon “triângulo” + metron “medida”) é um ramo da matemática que estuda as relações entre os comprimentos de 2 lados de um triângulo retângulo (triângulo onde um dos ângulos mede 90 graus), para diferentes valores de um dos seus ângulos agudos. A abordagem da trigonometria penetra outros campos da geometria, como o estudo de esferas usando a trigonometria esférica.
Eu sei que nem todo mundo é fã de matemática e trigonometria. Mas vejam esses GIFs animados, com eles você vai poder ver esses cálculos complexos em ação. Cuidado para seu cérebro não entrar em parafuso!
Para começar, isso é o que você realmente deve pensar quando você ver o número π:

Muitas pessoas estão confusas sobre o que são radianos. Bem, aqui está um GIF para explicar:

Em seguida, pense sobre a relação entre o seno, cosseno e círculo. Eis um exemplo da relação fundamental entre os três. Observe como o virabrequim se move em um círculo, e as barras – que correspondem ao seno e cosseno – se movem para cima e para baixo e para os lados em uma formação ondulada:

Desafio Prof(a) Carla Prando - Valendo 1 ponto na média

Obs: Apenas o primeiro aluno a encontrar o numero exato de triângulos e explicação coerente será contemplado com 1 ponto e mais uma foto que postarei no blog.

Dica: Vale triângulos de qualquer tamanho. Boa sorte!

Um Redondo pode ser um Quadrado?

Clique nas imagens para ampliar

Gênios Matemáticos Precoces

Blaise Pascal

Aos 12  anos, Pascal  estudava  sozinho os Elementos  de  Euclides.  Aos  20,  construiu  a primeira  calculadora mecânica  de  que  se  tem notícia.  Desenvolveu  trabalhos  fundamentais, principalmente  em  fluidos tática:  inventou  a prensa  hidráulica  e  a  seringa.  Aos  30  anos começou a elaborar a Teoria dos Jogos, que teve como subproduto a Teoria das Probabilidades e parte  da  Estatística.  Além  de  filósofo  natural (físico) e matemático, ele era também teólogo.

Carl Friedrich Gauss

Ainda  muito  jovem,  Gauss  notou  que entre  1  e  100  existem  50  pares  de  soma  101. Ele  deduziu  então  que  a  adição  de  todos  os pares (50 x 101 = 550) é, de  fato, a soma total dos números entre 1 e 100. Com menos de 20 anos  lançou  as  bases  da  Teoria  dos  Números, um dos ramos mais difíceis da Matemática. Seus trabalhos estendem-se por todas as áreas dessa ciência:  aritmética,  álgebra,  geometria,  análise, topologia  etc.  Gauss,  além  de  grande matemático, era também físico e astrônomo.

Evariste Galois

Esse  gênio  teve  passagens  não  muito gloriosas  pela  escola.  Perdeu  ano  por reprovação  em  retórica  e  fracassou  em  duas tentativas  de  ingressar  na  Escola  Politécnica francesa.  Galois  morreu  aos  21  anos,  em decorrência  de  um  duelo  motivado  por  uma briga de bar. Ciente da proximidade da morte, dedicou  suas  últimas  horas  à  produção apressada  de  um manuscrito  em  que  resumiu suas principais  ideias – todas originais – sobre a Teoria dos Grupos.

Gottfried Leibniz

O alemão Gottfried Wilhelm Leibniz entrou na universidade aos 15 anos para formar-se apenas dois anos depois. Aos 20, publicou o tratado Da Arte Combinatória, no qual formulou a base teórica que seria usada na fabricação de alguns modernos computadores, mais de dois séculos depois. Aos 29 anos, estabeleceu as fundações dos cálculos integral e diferencial, independentemente  de  Newton, pilares do desenvolvimento da Matemática também  desenvolveu  métodos  inéditos  para tratar  as  séries  infinitas.  Tal  como  Pascal, construiu  uma  máquina  de  calcular  original. Além  de  trazer  contribuições  para  a Matemática, destacou-se como  filósofo: Leibniz reduzia  a  realidade  a  “mônadas”,  entidades singulares,  indivisíveis,  relacionadas  umas  às outras, mas guardando, cada uma, a essência do universo como um todo.

John Nash

A  vida  desse  matemático  foi  transposta para  as  telas  em  Uma  Mente  Brilhante.  Nash teve  boa  formação  escolar  e  bastante  atenção da  família.  Mesmo  assim,  tendia  ao temperamento  solitário  e  introvertido.  Ainda estudante  do  curso  de  graduação  de Matemática, um dia atrasou-se e perdeu a aula. Viu  no  quadro  um  problema  e  o  anotou, acreditando que  se  tratava de  tarefa para  casa deixada  pelo  professor.  Na  aula  seguinte, apresentou  a  solução  para  o  mestre  –  que, pasmo,  informou  tratar-se  de  um  dos  grandes problemas matemáticos, até então sem solução, sobre  o  qual  muitos  dos  maiores  cientistas vivos  vinham  trabalhando  havia  anos.  Nash  é esquizofrênico,  tal qual  foi Vincent van Gogh e outros  gênios.  Em  1994,  recebeu  o  Prêmio Nobel de Economia.

Isaac Newton

Baseou suas principais obras, como os Principia (publicado no Brasil com o subtítulo Princípios Matemáticos de Filosofia Natural), em que explicava o movimento dos corpos, nas descobertas que fez na juventude. Newton dizia ter alcançado o auge de sua criatividade entre 1665 e 1666, quanto tinha entre 23 e 24 anos. Nesse período, o físico deixou o Trinity College fugindo da peste que atingiu a região da universidade inglesa e retornou ao campo, onde nasceu. Ali se passou o lendário episódio da maçã. A queda da fruta da árvore, dizem, deu origem à sua teoria da gravitação universal.

  

13º Salário NUNCA Existiu...

Você já parou pra pensar nesse aspecto. Brilhante, de fato!

Os trabalhadores ingleses recebem os ordenados semanalmente!

Mas há sempre uma razão para as coisas e os trabalhadores ingleses, membros de uma sociedade mais amadurecida e crítica do que a nossa, não fazem nada por acaso!

Ora bem, cá está um exemplo aritmético simples que não exige altos conhecimentos de Matemática, mas talvez necessite de conhecimentos médios de desmontagem de retórica enganosa.

Lembrando que o 13º no Brasil foi uma inovação de Getúlio Vargas, o “pai dos pobres” e que nenhum governo depois do dele mexeu nisso.

 

Porquê? Porque o 13º salário não existe.

O 13º salário é uma das mais escandalosas de todas as mentiras dos donos do poder, quer se intitulem “capitalistas” ou “socialistas”, e é justamente aquela que os trabalhadores mais acreditam.

Suponhamos que você ganha R$ 700,00 por mês. Multiplicando-se esse salário por 12 meses, você recebe um total de R$ 8.400,00 por um ano de doze meses.

R$ 700,00 X 12 = R$ 8.400,00

Em Dezembro, o generoso governo manda então pagar-lhe o conhecido 13º salário.

R$ 8.400,00 + 13º salário = R$ 9.100,00

 

R$ 8.400,00 (Salário anual)

+ R$ 700,00 (13º salário)

= R$ 9.100,00 (Salário anual mais o 13º salário)

... e o trabalhador vai para casa todo feliz com o governo que mandou o patrão pagar o 13º.

 

Façamos agora um rápido cálculo aritmético:

Se o trabalhador recebe R$ 700,00 mês e o mês tem 4 semanas, significa que ganha por semana R$ 175,00.

 

R$ 700,00 (Salário mensal)

dividido por 4 (semanas do mês)

= R$ 175,00 (Salário semanal)

 

O ano tem 52 semanas (confira no calendário se tens dúvida!). Se multiplicarmos R$ 175,00 (Salário semanal) por 52 (número de semanas anuais) o resultado será R$ 9.100,00.

 

R$ 175,00 (Salário semanal)

X 52 (número de semanas anuais)

= R$ 9.100,00

O resultado acima é o mesmo valor do Salário anual mais o 13º salário

Surpresa!!

 

Onde está, portanto, o 13º Salário?

A resposta é que o governo, que faz as leis, lhe rouba uma parte do salário durante todo o ano, pela simples razão de que há meses com 30 dias, outros com 31 e também meses com quatro ou cinco semanas (ainda assim, apesar de cinco semanas o governo só manda o patrão pagar quatro semanas) o salário é o mesmo tenha o mês 30 ou 31 dias, quatro ou cinco semanas.

No final do ano o generoso governo presenteia o trabalhador com um 13º salário, cujo dinheiro saiu do próprio bolso do trabalhador.

Se o governo retirar o 13º salário dos trabalhadores da função pública, o roubo é duplo.

Daí que não existe nenhum 13º salário. O governo apenas manda o patrão devolver o que sorrateiramente foi tirado do salário anual.

 

Conclusão: Os Trabalhadores recebem o que já trabalharam e não um adicional.

13º NÃO É PRÊMIO, NEM GENTILEZA, NEM CONCESSÃO.

É SIMPLES PAGAMENTO PELO TEMPO TRABALHADO NO ANO!

O Professor está sempre errado

Área do círculo

A área do círculo é dada por , onde  é o raio do círculo. Ao dividir-se o círculo em setores circulares iguais e subdividindo-os em setores circulares cada vez menores em ângulo e, consequentemente, em área, até ao infinito, podemos agrupá-los por forma a obtermos um retângulo de comprimento  e largura . A área do retângulo é dada pelo produto do comprimento pela largura, obtendo-se assim o valor .

No GIF animado acima, realizado por Malin Christersson, podemos ver o procedimento descrito.

Até quantas casas decimais de PI você sabe?

Certa vez na Faculdade o professor perguntou para uma aluna "quanto é ?", a garota meio que sem pensar ,respondeu é 3,14.
Quem dera se fosse 3,14 , pi não seria mais irracional, não teriamos mais o problema de achar raiz de , enfim, os cálculos seriam mais simples, porém não é 3,14 , pelo menos não só isso.
O japonês Akira Haraguchi, de 59 anos, decorou 83.431 decimais.  Ele demorou 13 horas para dizer todos os decimais num local público de kisarazu (sul de Tóquio).
 O recorde anterior, segundo o livro "Guinness" dos recordes, era de 42.195 decimais.
Haraguchi já havia batido a marca em Setembro de 2005 com 54.000 decimais, mas a façanha não foi homologada porque ele ultrapassou o tempo limite estabelecido pelos organizadores.

Para quem deseja bater o recorde dele ou descobrir quantas casas decimais consegue decorar, não ache isso perda de tempo. Esta ai uma dica que ajuda na memorização. Quantos dígitos você consegue?

Álgebra do abraço

Clique na imagem para ampliar

Um cubo feito com outros cubos

Um cubo pode ser construído com cubos mais pequenos todos eles congruentes entre si. No GIF animado acima temos um cubo feito com cubos mais pequenos, todos com o mesmo volume. Por exemplo, se cada cubo pequeno tem de volume, então o cubo tem de volume. Neste caso a unidade de volume é , que corresponde ao volume de um cubo pequeno.

Divisão infinita do chocolate

Dividir um chocolate e sobrar um pedacinho? E fazer isso infinitamente? Será isso possível? A resposta é não. No GIF animado acima existe um truque que aumenta o tamanho dos dois blocos de chocolate com a forma de trapézios retângulos que se movimentam, resultando no pedacinho de chocolate que sobra. No GIF animado abaixo pode observar como o truque é feito. Na realidade, antes do trapézio retângulo maior se deslocar, ele se afasta do tablete. Esse afastamento depois é "preenchido" com chocolate, ocorrendo o mesmo com o trapézio retângulo menor.

Oração Matemática

Infinitos decágonos côncavos

Um decágono côncavo é um polígono estelar com 10 vértices. Ao contrário de um polígono convexo, existem pelo menos dois pontos de um polígono côncavo que, ao se traçar um segmento de reta entre eles, existem pontos desse segmento de reta que não pertencem à esse polígono. Por exemplo, se escolhermos dois pontos pertencentes à duas pontas distintas da estrela, verificamos facilmente essa propriedade.
No GIF animado acima, realizado por Malin Christersson, podemos ver uma infinidade de decágonos côncavos.

Triângulo de Penrose

O triângulo de Penrose é um objeto impossível. Apesar do seu nome, foi o artista sueco Oscar Reutersvärd que criou-o em 1934. No entanto, foi o matemático inglês Roger Penrose quem concebeu-o de forma independente e popularizou-o na década de 1950, descrevendo-o como "a impossibilidade em sua forma mais pura".

No GIF animado acima podemos ver uma esfera a percorrer o triângulo de Penrose. A continuidade do movimento da esfera sobre o triângulo também é impossível, uma vez que uma representação em 3D do objeto obriga a haver uma ruptura, que apenas não é visível de um determinado ângulo.

Número Áureo

Um amor impossivel

Fractal

Um fractal é um objeto geométrico em que se repete o mesmo padrão e com orientação diferente. A expressão fractal vem do Latim fractus, que significa fracturado, quebrado, irregular. A expressão e o conceito são atribuídos ao matemático francês de origem judaico-polonesa Benoit B. Mandelbrot. Se aumentarmos um fractal, os elementos voltam a ter o mesmo aspecto independentemente da escala que utilizemos.

Podemos encontrar fractais na Natureza, como nos brócolis, nos caracóis e nos girassóis. Os fractais são utilizados em Medicina e em Geologia, entre outras áreas do conhecimento humano.

Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras refere que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. No GIF animado podemos visualizar o Teorema de Pitágoras de uma forma intuitiva. No entanto, não se trata de uma demonstração e sim de uma aplicação do mesmo teorema utilizando os volumes dos prismas quadrangulares retos.

Atividade - Poliedro Decorado

(materiais: papel, lápis, borracha, régua, lápis de cor ou caneta hidrográfica, tesoura e cola)

Nesta atividade vamos criar uma obra tridimensional confeccionando um poliedro. Com base nos moldes apresentados pela professora escolha um dos modelos e o faça em uma folha branca com as medidas sugeridas. Após criar o molde pinte-o usando técnicas aprendidas em aulas de artes: grafismos, listras ou formas geométricas quadriculadas. Após pintar, corte e cole montando o poliedro. Capriche!

Tetraedro – Cada face é um triângulo equilátero com 8 cm de lado.

Cubo – Cada face é um quadrado com 6 cm de lado.

Octaedro – Cada face é um triângulo equilátero com 5 cm de lado.

Dodecaedro – Cada face é um hexágono. Tamanho livre

Icosaedro – Cada face é um triângulo equilátero. Tamanho livre.

Os Sólidos de Platão

Os sólidos de Platão também são denominados de poliedros, pois são formados por faces, arestas e vértices. As faces são constituídas por seções de planos, considerando que entre duas faces temos as arestas, as quais possuem em suas extremidades os vértices.
Platão foi um filósofo grego, que viveu entre os séculos V e IV a.C., e estabeleceu importantes propriedades em alguns poliedros. Os poliedros de Platão possuem características próprias e se enquadram nas seguintes condições:

O número de arestas é igual em todas as faces;
Os ângulos poliédricos possuem o mesmo número de arestas;
Nos sólidos considerados poliedros de Platão vale a relação de Euler (V – A + F = 2) onde V = vértices, A = arestas e F = faces.

O prisma a seguir pode ser considerado um Poliedro da Platão, pois se encaixa nas condições descritas anteriormente.


As seis faces do sólido são quadriláteros, isto é, são formadas por quatro arestas.
Os ângulos são triédricos, pois todos são formados por três arestas.
A relação de Euler pode ser aplicada, observe:
O sólido possui oito vértices, seis faces e 12 arestas:
V – A + F = 2
8 – 12 + 6 = 2
14 – 12 = 2
2 = 2 (verdadeiro)

Os poliedros de Platão são classificados em cinco classes de acordo com a tabela a seguir:


Platão estabeleceu algumas relações entre as classes de poliedros e a construção do Universo. Ele associou os poliedros cubo, icosaedro, tetraedro e octaedro, respectivamente, aos elementos terra, água, fogo e ar; e o dodecaedro foi associado ao universo. Conheça os poliedros de Platão:

Poliedros Regulares - Platônicos

Poliedros são sólidos geométricos formados apenas por polígonos.
Os poliedros platônicos são o tetraedro, o cubo(ou hexaedro), o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro: (todos com todas as faces iguais).

Chamamos de "face" cada polígono que forma o poliedro.
Chamamos de "arestas" cada lado dos polígonos ligados entre si.
Chamamos de "vértice" as pontas do poliedro.
O TETRAEDRO
 
O tetraedro é um poliedro composto por 4 faces triangulares, 4 vértices e 6 arestas.

 O HEXAEDRO

O Cubo é um poliedro composto por 6 faces quadradas, 8 vértices e 12 arestas.


O OCTAEDRO

O octaedro é um poliedro composto por 8 faces triangulares, 6 vértices e 12 arestas.


O DODECAEDRO

O dodecaedro é composto por 12 faces pentagonais, 20 vértices e 30 arestas.

 

O ICOSAEDRO

O icosaedro é composto por 20 faces triangulares, 12 vértices e 30 arestas.

 

Propriedades dos Poliedros Platônicos
A propriedade que distingue os Poliedros Platônicos de todos os demais é que estes são os únicos sólidos regulares inscritíveis na esfera. Para entender o significado disto, observe os polígonos em um círculo.

Dizemos que um polígono está inscrito em um círculo quando todos vértices do polígono em questão tocam a circunferência deste círculo, isto é, a linha que o delimita.

O fato é que infinitos polígonos regulares (cujos lados tem o mesmo comprimento) podem ser inscritos dentro de um círculo. Só alguns exemplos:
O mesmo não acontece com a esfera. Apenas os Poliedros Platônicos são os sólidos regulares (de faces idênticas) que podem ser inscritos nela.